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zoom RSS 藤原正彦先生20代のご研究「3次形式に関するアルティン予想」

<<   作成日時 : 2009/05/05 22:16   >>

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「数学者の休憩時間」の中の「嫉妬と学問」によれば、

 イギリスの若き数学者ヒースブラウンが、三次形式に関するアルティン予想を解決した、と
昭和58年7月初めに人づてに聞かされた。。。。 

 とあります。
 先生は20代の頃この問題に没頭されたことがあるそうです。そこまで先生が追求した問
題とはどのようなものか。また、この問題を解決した人物、先生が「ヒース・ブラウンとはど
この野郎だ」とわめいて、体を熱くさせた数学者を追ってみましょう。

【整係数三次形式に関するアルティン予想とは】

 1/7=0.142857142857 … (循環節:142857の長さ 6)
のように,1/pを10進法で小数展開したときの循環節の長さがp-1となる特別な素数を
10を原始根とする素数という。10を原始根とする素数,たとえば,
   7,17,19,23,29,47 …
の密度について,アルティンは

 π10(x)=Cx/logx と予想している。ただし、pを素数として、Cは、

 C = Π(1 - 1/P(P - 1) ) = 0.37395 (アルティン定数)

【ヒース・ブラウン氏】
http://www.maths.ox.ac.uk/node/4970

【ヒース・ブラウン氏の論文】
http://www.springerlink.com/content/888503604q236316/
論文のpreviewは、
http://www.springerlink.com/content/888503604q236316/fulltext.pdf?page=1

【wikiの説明】
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%80%E6%89%80%E5%A4%A7%E5%9F%9F%E5%8E%9F%E7%90%86


セルマー は、三次形式では局所大域原理が必ずしも成り立たないということを、例を
挙げて示した。実際、3x^3 + 4y^3 + 5z^3 = 0 は全ての素点で局所解を持つものの、
大域解は持たない。
 ヒース=ブラウン は14個以上の変数を持つ三次形式が 0 に等しいという方程
式は、常に大域解を持つことを示した。この結果は、先行するダベンポート の結
果の改良である。したがって、そのような不定方定式では、局所大域原理は自
明に成り立つ。
 非特異な形式に限るのであれば、さらに良い結果がある。ヒース=ブラウンは、10個
以上の変数を持つ非特異三次形式が 0 に等しいという方程式は、常に大域解を持つこ
とを示した。10という数は、この方面での結果で最良のものであることも知られてい
る。すなわち、9個の変数を持つ非特異三次形式が 0 に等しいという方程式のうち、
大域解を持たないものが存在する。一方で、クリストファー・ホーリーは、9個以上の
変数を持つ非特異三次形式では、常に局所大域原理が成り立つことを示した。
ダベンポート、ヒース=ブラウン、ホーリー等は皆、この種の結果を証明するために
円周法(サークル・メソッド)を用いている。ユーリ・マニンのアイデアによれば、三
次形式において局所大域原理の妨げになっているものは、ブラウアー群 と密接
な関係を持つとされるが、未だ完全な理論は構築されていない。

【さらに高次の形式 に対する藤原正彦先生と須藤真樹氏の業績】

非負整数 n に対して、次数 10n + 5 の形式では、一般には局所大域原理が成り立た
ないことを示した。一方、バーチ は、任意の正の奇数 d に対し、ある自然数 N(d) が
存在して、 d 次の形式で N(d) 個以上の変数を持つものに対しては、局所大域原理が
自明に成立するということを示した。

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